[博客翻译]科拉茨蚂蚁与科拉茨序列的相似性

科拉茨蚂蚁基于科拉茨函数：
\[f(n) = \begin{cases} n/2 & if \quad n \equiv 0 \quad (mod2) \\ 3n + 1 & if \quad n \equiv 1 \quad (mod 2) \\ \end{cases}\]
此外，如果$n \equiv 0 (mod2)$，蚂蚁会顺时针旋转90度，否则蚂蚁会逆时针旋转90度。在这两种情况下，单元格的状态都会翻转，蚂蚁向前移动一个单位。这个过程会一直重复，直到$n = 1$。以下动画展示了一个例子：

从$n = 10^{40}$到$n = 10^{40} + 20$的连续轨迹示例。

尽管这种表示方式很有趣，但状态翻转最终可能会导致一些模糊的场景，使得轨迹看起来因为省略而相似。

因此，下图展示了蚂蚁在没有状态翻转的情况下的轨迹（最终快照），以及相应的停止时间。这是通过简单地给蚂蚁经过的每个坐标增加一个$+1$计数来实现的。

其他一些例子

从$n = 2$到$n = 102$的前100个数字。

从$n = 10^{9}$到$n = 10^{9} + 100$。

从$n = 10^{20}$到$n = 10^{20} + 100$。

从$n = 10^{200}$到$n = 10^{200} + 10$。

一些有趣的现象

• 非常相似的轨迹具有相同的停止时间（或相似的停止时间），但反过来并不成立。一个反例是$n = 10^{20} + 1$（第一行，第二列）和$n = 10^{20} + 16$（第四行，第二列），它们的停止时间都是532。

如果我们检查这两个轨迹的相似性：

import numpy as np
import mpmath
def collatz_seq(n):
  seq = []
  while n != 1:
    seq.append(n)
    if n % 2 == 0:
    	n /= 2
    else:
    	n = 3*n + 1
  return seq
mpmath.mp.dps = 22
n1 = mpmath.mpf("1e20") + 1
n2 = mpmath.mpf("1e20") + 16
len(np.intersect1d(collatz_seq(n1), collatz_seq(n2)))

输出：142

如果我们在$n = 10^{20} + 16$和$n = 10^{20} + 20$之间进行同样的操作，它们的轨迹相似且停止时间相同，我们得到：

输出：527

• 此外，如果我们现在看一个子轨迹收敛的例子，在这种情况下，每一步之间有5步的差异，我们可以看到轨迹非常相似，但旋转角度不同（似乎总体上是90度）。这当然是由于蚂蚁在早期重新定向的结果，因为多了这5步。

以$n = 18750000000000000004$和$n = 10^{20} + 16$为例，前者是在后者经过5步缩减后找到的。

现在，差异为100步时，轨迹仍然非常相似，但旋转了180度。

差异为200步时，轨迹之间的细节开始减少。

差异为300步时，两个轨迹之间只有一些较大尺度的特征仍然相似。