标题：《数学从三到七：幼儿数学圈的故事》书评
书评：亚历山大·兹夫金的《数学从三到七》www.thepsmiths.com
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书评：《数学从三到七》，亚历山大·兹夫金，2007年（莫斯科继续数学教育中心出版）。对我来说，历史上最大的谜团之一是冷战为何会成为一场竞赛。这就像著名的“南丁格尔问题”的镜像：南丁格尔曾疑惑为何拥有庞大人口和GDP的中华帝国在科学上却输给了西方。我在之前的评论中对此进行了深入探讨。然而，与苏联的情况恰恰相反：他们人口较少，工业基础薄弱，经济规模小，且效率低下。那么，他们是如何长久保持与美国的军事和技术平衡的呢？
这个问题在我成长于90年代和00年代时得到了部分解答，当时大批前苏联移民涌入美国。那时，如果你参加过象棋比赛或数学竞赛，你就会明白我的感受：看到对手有俄罗斯名字时，那种挫败感油然而生。如今，主导这一场景的是中国和印度的孩子，但他们人口众多，相比之下，苏联人在人口上的表现远超实际水平。如今，这些俄罗斯人在华尔街、硅谷和常春藤盟校的数学系里随处可见，他们在技术领域仍然占据优势。这背后的原因是什么？难道俄国人天生就更擅长数学和物理吗？
当我把这些问题告诉一位亲犹太主义的朋友时，他立刻猜测：“可能是因为他们都是犹太人。”有趣的是，最亲犹太的人和最反犹的人有时对世界的理解惊人地相似，只是对这是否为好事的看法不同。朋友的问题并非无稽之谈，因为确实有些时候，问“他们全都是犹太人吗？”能得到肯定的答案。但在这种情况下，我不得不告诉他，许多俄罗斯数学和国际象棋界的超级明星其实不是犹太人。2 更重要的是，到了六七十年代，苏联甚至有一套制度性措施来阻止犹太人进入科学界，如果他们真的奠定了苏联成功的基础，那真是令人印象深刻。
另一种可能的解释与苏联的相对贫困有关。假设有很多人拥有数学天赋，但如果可以选择，他们可能会选择编织水下篮子这样的专业。美国由于富裕，可以“浪费”大量人才在人文艺术等领域，而这些并不需要你在图书馆熬夜学习。换句话说，不从事技术领域是一种奢侈，而美国有能力消费这种奢侈。苏联，就像现在的中国，由于弱势地位，被迫更高效地分配人力资源（必要时还会用强制手段），这与美国形成了鲜明对比。这个理论与一个有趣的事实相关：社会越倾向于女权主义，女性在数学和科学领域的比例就越低——如果假设女性通常擅长数学但对此不感兴趣，这似乎是有道理的。
我遇到的那些移民超级明星并没有表现出对学习的怨恨，反而充满热情。我之前曾抱怨过我对俄罗斯数学家爱德华·弗伦克尔的书《数学之美》3 感到厌烦，但它很好地传达了一个观点：成为一名伟大的数学家，激情至关重要，而移民们似乎正是激情过剩。在美国大学的研讨会上，美国教授的讲座通常只持续一小时，而俄罗斯教授的则常常演变成整夜的热烈辩论。人们长期以来都在谈论俄罗斯人的“最大化倾向”，无论是审美、理念还是其他方面。也许，对任何事情都不做妥协的文化态度可以解释这一切？
这些都是有趣的理论，但在我阅读的苏联科学家访谈中，反复出现的一个词是“数学圈子”。这个传统起源于沙皇时代的俄罗斯，然后在苏联广为流传。数学圈子是由热爱数学的年轻人和成年人组成的非正式团体，他们喜欢长时间思考和讨论数学。它们有点像运动队，内部有高强度的文化和团队精神，通常有一位特别才华横溢或知名的“教练”。但它们与体育队不同，成员之间不竞争，没有联赛，而且技能水平参差不齐。或许更好的比喻是定期聚在一起即兴演奏音乐的邻里乐团，但专属于数学。
数学圈子的核心在于一起解决难题，而非学校的习题或美国聪明孩子偶尔做的竞赛数学。学校数学和竞赛数学主要由练习题构成，这些题目是人为设计用于教学目的。任何聪明的孩子只要稍有见识，就能预见到被分配练习题后，能在五分钟内用适当方法解决，并且它与课本当前章节内容相关。聪明的学生能通过心理策略逆向工程，推断教师或标准化考试的设计意图，通过排除法、直觉猜测或模式识别来答题。
解题就像捕捉一只被阉割的动物园动物，虽然压力较小，但无助于野外生存。你需要观察他人解决问题。问题是一个真实情境下的疑问，可能你、你的教练或任何人都无法解答。即使问题可解，也可能需要数周或数月的专注和痛苦追求。解决问题可能需要未知的技术，或者你尚未掌握，甚至可能需要一种出乎意料的组合。问题就是数学的本质，残酷无情，没有边界，没有答案提示，没有教科书，它可能吞噬你。（想了解更多关于练习题与问题的区别，请阅读我对《赛勒斯的教育》的书评。）
书评：《赛勒斯的教育》，修昔底德| John Psmith·1月8日
数学圈子的日常是团队合作解决问题，这里没有学校的习题时间。有时教练会为你挑选一个挑战性的题目，让你磨炼技巧。但有时整个圈子会共同面对一个无人能解的问题，挑战最优秀成员。这些问题最重要，因为在这里，你会看到比你更有才华、更老练的大脑被推向极限，甚至失败。你会看到他们不断尝试，有时尽管失败，却不会逃避，而是欣然接受，因为失败对你有益，它让你知道你选择了值得挑战的对手。你学会了热爱困难。偶尔，你们会赢得胜利，当胜利来临时，感觉像是所有人都赢了，人类共同胜利，因为你们共享美好、危险和人性的最佳品质。
也有疲惫的时候，这时教练会讲述传奇问题和那些解决它们的数学家的故事。这些故事往往包含启示、灵感或数学发展史的视角。如果没有抛物线问题、五次方程根问题、二十面体问题或水星近日点进动问题，人类历史将会大不相同。但有时，故事背后并无深意，没有宏大人生观，只是精彩的故事，聆听它们是数学民俗的入门，因为每个文化（包括数学）都有共享的故事、引用和内部笑话，即使只是为了乐趣。
这本书讲述了一个这样的数学圈子，但与众不同的是，它是为学龄前儿童准备的。这个圈子的“教练”是亚历山大·兹夫金，一位职业数学家，他不满孩子们在学校被灰色官僚压制了对数学的热爱。于是，他为儿子德米特里和邻居的一些三四岁的孩子创办了一个圈子。他们的认知能力还未发展到理解数字和体积的概念，但这正是兹夫金利用他们缺乏数量直觉的优势，引入深刻概念的地方，比如两个集合相等元素的数量（更多细节在他的这篇期刊文章中）。
此时，你可能会觉得不可思议，特别是对于三岁孩子的理解，让他们静坐并思考深度数学问题几乎是不可能的。而且，让一个还在训练大小便的孩子面对问题又该如何呢？这就是兹夫金格式的巧妙之处——它不是一个传统的书，而是一本日记，几乎未经编辑。里面充满了失败的记录，如“今天我有个好主意，但大家都尖叫起来，然后有个孩子吐了”。然而，神奇的是，随着时间的推移，他的耐心得到了回报，孩子们开始展现出惊人的能力。
最初，当孩子们还太小，无法与问题抗衡时，他的目标是稍微抵消学校的数学教育。他讨厌学校把数学视为一套公式，痛恨孩子们的老师因未能按照指定格式作答而扣分，更糟糕的是，老师会因为孩子们使用“不应该知道”的方法而扣分。于是，他全身心投入到颠覆学校的既定答案中，模仿苏格拉底的方法，专注于腐蚀青少年的思维。4
大约一年后，兹夫金认为孩子们准备好面对第一个真正的问题了，他问他们：从五个物品中选择两个，但顺序不重要，有多少种选择方式？这是组合学的问题，他曾讽刺说，以前这会被教给高中高年级学生，直到官方认为它太难了。现在，他要教给学龄前儿童，甚至更难的是，让他们自己去探索，几乎不提供提示。
他坚持不懈地以各种形式和伪装重复这个问题，持续几个月。他采用归纳法教学，因为四岁的孩子是触觉型的，还没有形成正式和符号推理的认知工具（更多关于这一点，请参考《头脑风暴》的书评）。他先用珠子让他们制作两红三蓝的链条，引发关于旋转是否算作新链的讨论。这是一个好的数学问题，兹夫金给出了数学家的回答：“我们可以制定规则，决定是否算作新问题，这样我们有了两个问题，但其中一个既简单又有趣。”
孩子们玩珠子很开心，但他们还没准备好理解如何计算从n