基本概念
关联规则挖掘的一个典型例子是购物篮分析。关联规则研究有助于发现交易数据库中不同商品（项）之间的联系，找出顾客购买行为模式，如购买了某一商品对购买其他商品的影响，分析结果可以应用于商品货架布局、货存安排以及根据购买模式对用户进行分类。
关联规则的相关术语如下：
（1）项与项集
这是一个集合的概念，在一篮子商品中的一件消费品即为一项（Item），则若干项的集合为项集，如{啤酒，尿布}构成一个二元项集。
（2）关联规则
一般记为的形式，X为先决条件，Y为相应的关联结果，用于表示数据内隐含的关联性。如：表示购买了尿布的消费者往往也会购买啤酒。
关联性强度如何，由三个概念——支持度、置信度、提升度来控制和评价。
例：有10000个消费者购买了商品，其中购买尿布1000个，购买啤酒2000个，购买面包500个，同时购买尿布和面包800个，同时购买尿布和面包100个。
（3）支持度（Support）
支持度是指在所有项集中{X, Y}出现的可能性，即项集中同时含有X和Y的概率：
该指标作为建立强关联规则的第一个门槛，衡量了所考察关联规则在“量”上的多少。通过设定最小阈值（minsup），剔除“出镜率”较低的无意义规则，保留出现较为频繁的项集所隐含的规则。
设定最小阈值为5%，由于{尿布，啤酒}的支持度为800/10000=8%，满足基本输了要求，成为频繁项集，保留规则；而{尿布，面包}的支持度为100/10000=1%，被剔除。
（4）置信度（Confidence）
置信度表示在先决条件X发生的条件下，关联结果Y发生的概率：
这是生成强关联规则的第二个门槛，衡量了所考察的关联规则在“质”上的可靠性。相似的，我们需要对置信度设定最小阈值（mincon）来实现进一步筛选。
具体的，当设定置信度的最小阈值为70%时，置信度为800/1000=80%，而的置信度为800/2000=40%，被剔除。
（5）提升度（lift）
提升度表示在含有X的条件下同时含有Y的可能性与没有X这个条件下项集中含有Y的可能性之比：公式为confidence(artichok => cracker)/support(cracker) = 80%/50% = 1.6。该指标与置信度同样衡量规则的可靠性，可以看作是置信度的一种互补指标。
事务数据
假设我们的Transaction数据库有5条交易数据，如下表，其中abcde为5个商品。假设设定minSupport = 0.4，即要求至少共同出现2次。
| id | 购买的商品 |
|---|---|
| 1 | a b d |
| 2 | b c d |
| 3 | a b e |
| 4 | a b c |
| 5 | b c d |
| 表1：交易数据 |
频繁项挖掘的技术演进
1.1 暴力求解
5个sku，一共有2的5次方种购买可能，如下图所示。暴力求解循环每种可能，全量扫描交易数据库计算购买次数，看其是否超过设定的minSupport，进而判断是否是频繁项。
1.2 Apriori算法
上述的暴力求解方式对每种可能都会进行数据库的全表扫描，效率低下。因此有学者提出了Apriori算法。Apriori中文含义是先验的，因为算法基于这么一个先验知识：当购买组合A不是频繁项时，那么包含A的任何超集也必然不是频繁项。
通过这个先验知识，可以避免大量的无效数据库扫描，提高效率，提高的程度取决于交易数据和设置的minsupport。示意图如下所示：
FP-Growth算法
FP-Growth算法更进一步，通过将交易数据巧妙的构建出一颗FP树，然后在FP树中递归的对频繁项进行挖掘。
FP-Growth算法仅仅需要两次扫描数据库，第一次是统计每个商品的频次，用于剔除不满足最低支持度的商品，然后排序得到FreqItems。第二次，扫描数据库构建FP树。
还是以上面的交易数据作为例子，接下来一步步的详细分析FP树的构建，和频繁项的递归挖掘。
2.1 统计频次
第一步，扫描数据库，统计每个商品的频次，并进行排序，显然商品e仅仅出现了一次，不符合minSupport,剔除。最终得到的结果如下表：
| 商品 | 频次 |
|---|---|
| b | 5 |
| a | 3 |
| c | 3 |
| d | 3 |
表2: 商品的出现频次
2.2 构建FP树
第二步，扫描数据库，进行FP树的构建。FP树以root节点为起始，节点包含自身的item和count，以及父节点和子节点。
首先是第一条交易数据，a b d，结合第一步商品顺序，排序后为b a d，依次在树中添加节点b，父节点为root，最新的的频次为1，然后节点a，父节点为a，频次为1，最后节点d，父节点为b，频次为1。如下图所示：
然后是第二条交易数据，排序后为：b c d。依次添加b，树中已经有节点b，因此更新频次加1，然后是节点c，b节点当前只有子节点d，因此新建节点c，父节点为b，频次为1，最后是d，父节点为c，频次为1。
后面三条交易数据的处理和前两条一样，就不详细阐述了，直接画出每次处理完的FP树示意图。
2.3 频繁项的挖掘
2.3.1 商品b频繁项的挖掘
首先是商品b，首先b节点本身的频次符合minSupport，所以是一个频繁项(b : 5)，然后b节点往上找subTree，只有跟节点，所以解锁，b为前缀的频繁项只有一个：（b : 5）。
2.3.2 商品a频繁项的挖掘
然后是a，显然a本身是个频繁项(a : 3)，然后递归的获取a的子树，进行挖掘。子树构建方式如下：新建一个新的FP树，然后遍历树中所有的a节点，往上找，直到root节点，然后把当前路径上的非根节点添加到subTree中，每个节点的频次为当前遍历节点的频次。
因为a只有一个节点(a, 3)，所以往上遍历得到节点b，因此把b加入subTree中，频次为节点(a, 3)的频次3。得到如下subTree，显然在这个subTree中只能挖掘出频繁项(b : 3)，然后别忘了这是a递归得到的子树，得拼上前缀a，所以得到频繁项为(ab : 3)
此时的subTree只有一个节点(b, 3)，不用进一步递归，因此商品a的频繁项挖掘结束，有两个频繁项为：(a : 3), (ab : 3)。
2.3.3 商品c频繁项的挖掘
商品c在FP树中包含两个节点，分别为: (c, 1), (c, 2)。显然c自身是个频繁项(c : 3)，然后进行递归。(c, 1)节点往上路径得到如下节点：(a, 1), (b, 1)。节点(c, 2)往上得到(b, 2)，上述三个节点可以构造出如下的subTree:
subTree中的节点(b, 3)符合minsupport,拼上前缀c得到频繁项(bc : 3)。节点(a, 1)不满足要求，丢弃。
因此，c挖掘出的频繁项为：(c:3), (cb : 3)
2.3.4 商品d频繁项的挖掘
同理，(d : 3)是一个频繁项，d的subTree为：
子树首先挖出(c : 2)，(b : 3)，拼上前缀d得到(dc : 2),(db : 3)，然后subTree中的节点c的subTree仅仅有根节点和节点(b, 2)，拼上两个前缀得到(dcb : 2)
2.3.5 最终结果和验证
通过上述的挖掘过程，我们依次挖出了如下9个频繁项：(b : 5), (a : 3), (ab : 3), (c:3), (cb : 3), (d : 3), (dc : 2),(db : 3), (dcb : 2)
我们通过pyspark进行下验证，得到的结果和我们一步步推算的结果丝毫不差。
#encoding:utf-8
from pyspark.sql import SparkSession
ss = SparkSession.builder
.appName("test_fp")
.config("spark.executor.memory", "32G")
.config("spark.driver.memory", "32G")
.config("spark.python.worker.memory", "32G")
.config("spark.default.parallelism", "4")
.config("spark.executor.cores", "8")
.config("spark.sql.shuffle.partitions", "500")
.config("spark.sql.crossJoin.enabled", "true")
.config("spark.sql.broadcastTimeout","36000")
.enableHiveSupport()
.getOrCreate()
data = [["a", "b", "d"], ["b", "c", "d"], ["a", "b", "e"], ["a", "b", "c"],["b", "c", "d"]]
rdd = ss.sparkContext.parallelize(data, 2)
from pyspark.mllib.fpm import FPGrowth
model = FPGrowth.train(rdd, 0.4, 2)
model.freqItemsets().collect()
# 结果如下：
#[FreqItemset(items=['a'], freq=3),
#FreqItemset(items=['a', 'b'], freq=3),
#FreqItemset(items=['b'], freq=5),
#FreqItemset(items=['d'], freq=3),
#FreqItemset(items=['d', 'b'], freq=3),
#FreqItemset(items=['c'], freq=3),
#FreqItemset(items=['c', 'd'], freq=2),
#FreqItemset(items=['c', 'd', 'b'], freq=2),
#FreqItemset(items=['c', 'b'], freq=3)]
Parallel FP-Growth
当交易的数据量级太大时，单机版本的FP-Growth内存将无法放下完整的FP树，并且单机效率较慢。如果能够实现并行化那就再好不过了，但是怎么将一颗完整的FP树拆分成多棵小树，分别在不同的机器节点上运行FP-Growth，这些小树得出的结果汇总后不会丢失频繁项，这是关键所在。
在这样的背景下，Google北京研究院相关人员提出了PFP(Parallel FP-Growth)，通过3次Map-Reduce操作对FP-Growth进行了并行化运行。目前各大开发包的实现也都是基于这一篇文章实现的，包括spark和mahout。
通过前面一步步的构建FP树和频繁项挖掘过程，大家应该发现了，挖掘某一个商品的频繁项时，并不是所有的交易数据都是有用的，显然不包含此商品的交易数据肯定是冗余的。PFP的关键就是将商品进行分堆到不同的机器节点上运行，每个节点获取和自己负责的节点相关的部分交易数据，然后后续的构建树和挖掘频繁项工作则是一样的。
第一个map-reduce用于统计每个item的频次，得到frequentSets，功能类似于wordCount。
第二个map-reduce实现分布式的FP-Growth，是关键所在。mapper负责生成group-dependent transactions。首先将frequentSets进行分堆，假设分为两堆，得到如下表的G_list。第一台机器负责b和a的频繁项挖掘，第二台机器负责c和d频繁项的挖掘。
| 商品 | 频次 | group_id(后面简写为gid) |
|---|---|---|
| b | 5 | 1 |
| a | 3 | 1 |
| c | 3 | 2 |
| d | 3 | 2 |
| 表3：G_list |
然后开始划分交易数据，以第一条a b d为例，排序后为b a d。从后往前遍历，首先是d，gid为2，所以得到如下交易数据<2, (b a d)>，第一项为gid，第二个为对应的交易数据。第二个为a，gid为1，得到<1, (b a)>，因为d的频次小于b和a，所以d的存在与否对以b和a为前缀的频繁项挖掘没影响，只对d为前缀的频繁项有作用。最后是d，gid=2,因为已经有了gid=2的交易数据，因此不用处理。
通过上述步骤，可以生成各个group_id需要的交易数据，然后送个reducer。Reducer负责在这些交易数据上进行普通的FP-Growth操作，进行自己负责的item的频繁项的挖掘。
第三次map-reduce对上述不同分
